Georg Cantor dedicó su vida a estudiar el infinito, creó la hipótesis del continuo y terminó sus días en un psiquiátrico. Como sus teorías pertenecen a la matemática avanzada y no queremos que ninguno de los lectores de OjoCientífico termine loco, para entender mejor la existencia de infinitos más grandes que otros, vamos a visitar el Hotel Hilbert, el hotel teórico que el también matemático David Hilbert construyó con las teorías y paradojas de Cantor.

Infinitos mayores que infinito

El Hotel Hilbert tiene un número infinito de habitaciones. El único requisito para ser huésped de este hotel tan extraño es estar dispuesto a que te cambien de habitación varias veces a lo largo de la noche.

Si llega un huésped nuevo y todas las habitaciones están ocupadas, el recepcionista le pedirá a todos los huéspedes que se cambien a la habitación siguiente a la que ocupan. Esto es, de la habitación 1 a la 2, de la habitación 2 a la 3, de la habitación 1325 a la 1326, y así. Así la habitación 1 queda libre para el nuevo huésped. En términos matématicos, cada huésped se iría a la habitación n+1, siendo n el número de su cuarto.

Si llegan 15 ocupantes nuevos, el recepcionista hará que cada huésped se mueva a la habitación n+15, esto es, si su habitación es la número 1, que se vaya a la 16, si es la 333, que se vaya a la 348, si es la 4897624, que se vaya a la 4897636, y así tendrá las habitaciones de la 1 a la 15 libres para sus nuevos huéspedes.

Doble infinito

¿Qué pasa si llegan infinitos huéspedes nuevos al mismo tiempo? Al recepcionista se le ocurre trasladar a todos los huéspedes a la habitación cuyo número sea el doble de la suya propia, esto es, de la habitación 1 a la 2, de la 2 a la 4, de la 3 a la 6 (en términos matemáticos 2n). Así se asegura de que le quedan libres todas las habitaciones impares. De nuevo tiene infinitas habitaciones disponibles a pesar de que el hotel ya estaba lleno.

Infinitos infinitos

Un día llegan al hotel un número infinito de autobuses con un número infinito de turistas cada uno. El hotel al ser tan especial, como siempre, está lleno. El recepcionista piensa que lo mejor sería mover de nuevo a todos los huéspedes a las habitaciones pares, así tendrá un número infinito de habitaciones impares disponibles. Otra vez todos los ocupantes del hotel tendrán que cambiarse a los cuartos cuyo número sea el doble del suyo.

Pero esto no basta para distribuir las habitaciones, porque tiene que colocar un número infinito de autobuses. Así que decide numerar los autobuses: 1, 2, 3, 4 hasta el infinito, como las habitaciones. También enumera en cada autobús a los infinitos pasajeros.

Luego les indica que el primer pasajero del autobús ocupe la primera habitación impar libre. Luego, que la segunda persona del autobús se quedará con la siguiente habitación libre. Y la primera del segundo autobús la siguiente.

Luego la tercera del autobús 1, la segunda del autobús 2 y la primera del autobús 3. Luego la cuarta del autobús 1, la tercera del autobús 2, la segunda del autobús 3, la primera del autobús 4 y así hasta los infinitos, porque son varios.

La complicada fórmula matemática sería: a cada número de autobús (x) le corresponden las habitaciones yn, siendo y es el número primo de orden x+1. Por ejemplo, al autobús 35 le corresponden las habitaciones 151n, ya que 151 es el 36º número primo.

Paradojas del infinito

Cantor probó de esta manera que hay exactamente el mismo número de fracciones (p/q donde p y q son dos números enteros positivos) que equivalen a números naturales (1, 2, 3, 4,…). Esta afirmación conlleva que las dos series son infinitas y que podría hacerse una lista de fracciones concretas asociadas a cada número natural.

Como las fracciones son infinitas (entre el 1 y el 2 hay divisiones infinitas), jamás podríamos enumerarlas todas. Esto nos lleva directos al desvarío, como a Cantor. Las habitaciones infinitas del Hotel Hilbert son mucho más digeribles.

¿Se te ocurre alguna otra manera de distribuir a los infinitos huéspedes?-(Ojo-Científico)